Математичний аналіз
Ознайомлення студентів з основами математичного апарата, необхідно для розв’язування теоретичних і практичних задач економіки, вироблення навиків математичного дослідження прикладних задач, наприклад, побудови економіко-математичних моделей; прищеплення студентам вміння самостійно вивчати навчальну літературу з математики та її прикладних питань; дати необхідну математичну підготовку та знання для вивчення інших розділів математичного циклу, таких як «Теорія ймовірностей та математична статистика», «Математичне програмування».
Зміст
Розділ 1. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
Тема 1.1. Елементи теорії матриць.
Основні поняття. Дії над матрицями.
Тема 1.2. Визначники.
Визначники другого і третього порядків. Перестановки. Поняття визнач-ника n-го порядку. Властивості визначника. Мінори і алгебраїчні доповнен-ня. Розклад Лапласа. Правило Крамера. Обернена матриця. Множення визначників. Розв’язування системи рівнянь за допомогою оберненої мат-риці.
Тема 1.3. Лінійний простір.
Вектори. n-вимірний простір. Підпростір. Лінійна залежність та незале-жність векторів. Ранг сукупності векторів. Базис, розмірність підпростору. Перехід від одного базису до іншого. Ортогональний базис. Ортогоналіза-ція системи векторів. Ядро та ранг лінійного оператора.
Тема 1.4. Лінійні системи рівнянь.
Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі. Однорідні системи рівнянь. Метод Гаусса. Метод Жордана-Гаусса.
Тема 1.5. Власні числа матриці.
Матриця як лінійний оператор. Власні числа та власні вектори. Подібні матриці. Форма Жордана.
Тема 1.6. Квадратичні форми.
Означення. Умови визначеності. Діагоналізація симетричних матриць.
Тема 1.7. Невід’ємні матриці.
Стохастичні матриці. Теорема Фробеніуса.
Розділ 2. АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ
Тема 2.1. Елементи векторної алгебри.
Системи координат. Найпростіші задачі аналітичної геометрії. Вектори, лінійні операції над векторами. Проекції векторів. Довжина та напрям вектора. Скалярний, векторний і змішаний добутки векторів.
Тема 2.2. Лінії на площині.
Поняття рівняння лінії в R2. Пряма лінія на площині. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Кут між прямими. Умова паралельності та перпен-дикулярності прямих. Загальне рівняння прямої. Взаємне розташування двох прямих. Відстань від точки до прямої. Криві другого порядку. Коло. Еліпс, гіпербола та її асимптоти, парабола. Дослідження загального рівняння кривої другого порядку. Криві в полярних координатах. Параметричне завдання кривих.
Тема 2.3. Елементи аналітичної геометрії у просторі.
Куля. Поняття рівняння поверхні в R3. Циліндричні поверхні. Загальне рівняння площини. Пряма лінія в просторі. Взаємне розташування площин і прямих у просторі. Поняття про поверхні другого порядку.
Розділ 3. ВСТУП ДО МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ
Тема 3.1. Множини. Множини чисел.
Поняття множин. Основні означення та властивості. Граничні точки множин. Множини натуральних, цілих, раціональних та дійсних чисел. Множина комплексних чисел. Нерівності, інтервали, модуль, відсотки.
Тема 3.2. Послідовності. Границі послідовностей.
Поняття послідовності. Арифметичні дії над послідовностями. Границі послідовностей. Нескінченно великі та малі величини, їх властивості, зв’язок між ними. Обмежені та монотонні послідовності. Число e. Економі-чна інтерпретація числа e.
Тема 3.3. Функція.
Поняття функцій. Основні елементарні функції та їх геометричне зо-браження. Раціональні функції. Алгебраїчні функції. Показникова функція та її властивості. Логарифмічна функція. Тригонометричні функції. Обер-нені тригонометричні функції. Гіперболічні функції. Функції в економіці.
Тема 3.4. Границя та неперервність функції.
Теорема про границі. Розкриття неозначеностей. Особливі границі. Не-перервність функції в точці та на проміжку, їх властивості. Точки розриву функції та їх класифікація. Рівномірна неперервність функції.
Розділ 4. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
Тема 4.1. Диференціювання.
Похідна функції. Фізичний, геометричний, економічний зміст. Правила диференціювання. Похідна показникової, логарифмічної, степеневої, три-гонометричних та обернених тригонометричних функцій. Таблиця похід-них. Диференціал функції. Правила обчислення диференціалів. Інваріант-ність форми диференціалу.
Похідні вищих порядків. Формули для обчислення похідних n-го поряд-ку.
Тема 4.2. Основні теореми диференціального числення.
Теореми Ферма, Ролля, Лагранжа, Коші. Правило Лопіталя. Формула Тейлора.
Тема 4.3. Застосування похідної.
Зростання та спадання функції. Екстремуми функції. Опуклість функції. Дослідження функції та побудова графіків. Економічні приклади.
Розділ 5. ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Тема 5.1. Основні поняття.
Множина точок на площині та в n-вимірному просторі. Означення фун-кції багатьох змінних. Способи задання функції. Область визначення функ-ції. Границя та неперервність функцій, їх властивості. Графічне зображення функції та лінії рівня.
Тема 5.2. Диференційовність функції.
Частинні похідні. Повний диференціал. Похідна за напрямом. Градієнт. Дотична та нормаль до поверхні. Частинні похідні та диференціал вищих порядків. Похідні неявних функцій. Якобіан. Формула Тейлора. Ротор, ди-вергенція.
Тема 5.3. Дослідження функцій багатьох змінних.
Екстремум функції двох змінних. Градієнтний метод знаходження екст-ремумів. Метод найменших квадратів. Умовний екстремум. Метод множ-ників Лагранжа. Оптимізація в економічних задачах.
Розділ 6. ВСТУП ДО ТЕОРІЇ КОМПЛЕКСНОГО ЗМІННОГО
Тема 6.1. Комплексні числа.
Дії з комплексними числами. Тригонометрична та показникова форма комплексного числа. Формули Муавра, Ейлера. Розв’язок алгебраїчних рівнянь.
Тема 6.2. Функції комплексного змінного.
Умови Коші-Рімана. Границя та неперервність функції. Елементарні функції комплексного змінного.
Розділ 7. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
Тема 7.1. Невизначений інтеграл.
Первісна функція. Невизначений інтеграл. Таблиця невизначених інтегралів. Методи інтегрування заміною та частинами. Інтегрування раціональних дробів. Інтегрування виразів, які містять квадратний тричлен. Інтегрування найпростіших раціональних дробів. Розклад правильного дробу на суму найпростіших. Інтегрування ірраціональних функ¬цій. Інтегрування диференціального бінома. Інтегрування тригоно¬метричних виразів.
Тема 7.2. Визначений інтеграл.
Обчислення площі криволінійної трапеції. Властивості визначеного ін-теграла. Теорема Ньютона-Лейбніца. Методи підстановки та інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Наближені обчислення визначеного ін-теграла. Геометричні, механічні та економічні застосування визначеного інтеграла.
Тема 7.3. Узагальнене поняття інтеграла.
Невластиві інтеграли. Інтеграл Ейлера-Пуассона. Поняття про подвій-ний, криволінійний інтеграл. Інтеграл від функції комплексного змінного.
Розділ 8. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ ТА РІЗНИЦЕВІ РІВНЯННЯ
Тема 8.1. Диференціальні рівняння першого порядку.
Основні поняття. Задача Коші. Теорема існування та єдності розв’язків. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними.
Лінійні та однорідні рівняння. Рівняння в повних диференціалах. Рів-няння, що дозволяють зниження порядку.
Тема 8.2. Лінійні диференціальні рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Побудова загального розв’язку однорідного рівняння. Знаходження частинного розв’язку неоднорідного рівняння зі спеціальною правою частиною.
Тема 8.3. Лінійні різницеві рівняння зі сталими коефіцієнтами.
Кінцеві різниці. Оператор зсуву та його властивості. Лінійні однорідні та неоднорідні різницеві рівняння n – го порядку. Модель Самуельсона-Хікса.
Розділ 9. РЯДИ
Тема 9.1. Числові ряди.
Основні поняття та теореми. Ряди з додатними членами. Ряд геометрич-ної прогресії. Ознаки збіжності знакододатних рядів. Знакозмінні ряди.
Абсолютна та умовна збіжність. Ознака Лейбніца.
Тема 9.2. Функціональні ряди.
Степеневі ряди. Теорема Абеля. Ряд Тейлора. Розвинення функцій у степеневі ряди. Рівномірна збіжність рядів та їх властивості. Ряди з ком-плексними членами. Ряди Фурьє.
Смотрите так же:
- Символьні та наближені обчислення в системі Maple Кузьмін, А. В. Символьні та наближені обчислення в системі Maple: Навч. по-сіб. / А. В. Кузьмін, Н. М. Кузьміна, А. Б. Телейко. — К. : МАУП, 2006-2008. Ч. 2. — К. : ДП «Видавничий дім «Персонал», 2008. — 128 с.: іл.— Бібліогр.: с. 123. ISBN 978-966-608-860-7 Навчальний посібник є продовженням...
- Аналіз інвестиційних проектів Щукін Б. М. Аналіз інвестиційних проектів: Конспект лекцій. — К.: МАУП, 2002. — 128 с.: іл. — Бібліогр.: с. 125. Пропонований конспект лекцій розкриває зміст методичних і практичних основ розробки та експертизи інвестиційних проектів; комплексно охоплює тематику аналізу проектів. Особливу увагу приділено питанням визначення ефективності проекту, аналізу ризиків, процесам управління...
- Дискретний аналіз Дискретний аналіз: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. / О. Д. Шарапов, Д. Є. Семьонов, В. Д. Дербенцев. — К.: КНЕУ, 2002. — 126 с. У навчально-методичному посібнику розкрито основні теоретичні положення дискретного аналізу та подано необхідні методичні матеріали для самостійного вивчення дисципліни. Цей курс сформований як сукупність таких дисциплін:...
- Аналіз банківської діяльності Парасій-Вергуненко І. М. Аналіз банківської діяльності: Навч.-метод. посібник для самост. вивч. дисц. — К.: КНЕУ, 2003. — 347 с. Посібник підготовлено відповідно до програми дисципліни «Аналіз банківської діяльності», яка вивчається студентами спеціальностей «Облік та аудит в управлінні банками». «Банківська справа». Ця дисципліна входить у перелік дисциплін, які формують фахівців для...
- Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. для студ. вищ. навч. закл. / Р. К. Чорней, О. Ю. Дюженкова, О. Б. Жильцов та ін.; За ред. Р. К. Чорнея. — К.: МАУП, 2003. — 328 с.: іл. — Бібліогр.: с. 321-322. У навчальному посібнику подано теоретичний матеріал, розв’язки...